20 triků na počítání zpaměti pro děti, vysvětlených krok za krokem

Většina dospělých počítá zpaměti pomocí hrstky zkratek, které pochytili, aniž by si toho všimli: zaokrouhlí na pěkné číslo, přičtou deset a jedničku uberou, zdvojnásobí a vydělí dvěma. Mnohé školní osnovy některé z nich opravdu učí, třeba doplnění do desítky, ale děti se s nimi často setkají jen krátce, než převezme vládu písemné počítání. Když je procvičují záměrně, zůstanou jim.

Tenhle článek uvádí dvacet triků, které učí Math Ninja, hra zdarma na tomhle webu, v pořadí, v jakém je hra probírá. Každý má vyřešený příklad a hlavně vysvětlení, proč funguje. Trik, který dítě dokáže vysvětlit, si mnohem spíš udrží a použije správně. Každý příklad níže je ten, který hra používá ve fázi Watch, takže rodič, který tohle čte, a dítě, které hraje, se dívají na stejná čísla.

Jak s tím pracovat s dítětem. Vyberte jeden trik. Projděte kroky nahlas třikrát nebo čtyřikrát s různými čísly. Pak ať vám ho dítě vysvětlí zpátky. Když dokáže říct, proč funguje, jděte dál. Když umí říct jen, co se má udělat, zůstaňte u něj ještě den.

➕ Sčítání

1. Pěkná čísla (Friendly Numbers)

Zaokrouhli nešikovné číslo na desítky, sečti a pak to navíc vrať.

Příklad: 48 + 35 = 83

1. 48 má k 50 tak blízko. Zaokrouhli nahoru o 2. 48 + 2 = 50
2. Teď je sčítání snadné. 50 + 35 = 85
3. Na zaokrouhlení jsme si půjčili 2. Vrať je. 85 − 2 = 83

Proč to funguje: přičíst k jednomu číslu 2 a pak 2 odečíst od výsledku se vyruší. Jen jsme nešikovnou část přesunuli na konec, kde je z ní jeden snadný krok.

2. Zleva doprava (Left to Right)

Nejdřív sečti desítky, pak jednotky a pak je spoj.

Příklad: 53 + 36 = 89

1. Nejdřív desítky: 50 a 30. 50 + 30 = 80
2. Teď jednotky: 3 a 6. 3 + 6 = 9
3. Spoj je. 80 + 9 = 89

Proč to funguje: sčítat se dá v jakémkoli pořadí. Desítky plus desítky a pak jednotky plus jednotky je písemné sčítání otočené na bok a velká čísla zůstávají na očích, takže výsledek je zhruba správně už od prvního kroku.

3. Doplnění do desítky (Making Tens)

Půjč si z jednoho čísla přesně tolik, aby z druhého byla desítka.

Příklad: 8 + 7 = 15

1. 8 potřebuje kousek do 10. Kolik? 10 − 8 = 2
2. Vezmi 2 ze 7. 7 − 2 = 5
3. Deset a 5. 10 + 5 = 15

Proč to funguje: 8 + 7 a 10 + 5 dávají stejný součet; jen jsme přesunuli 2 z jedné hromádky na druhou. Desítka se přičítá ke všemu snadno, takže celá práce spočívá v tom zjistit, kolik číslu chybí do deseti.

4. Skluzavka plus 9 (The Plus 9 Slide)

Přičítáš 9? Přičti 10 a sjeď o jednu zpátky.

Příklad: 67 + 9 = 76

1. Přičti místo toho 10, to je snadné. 67 + 10 = 77
2. Sjeď o jednu zpátky. 77 − 1 = 76

Proč to funguje: 9 je o jednu méně než 10. Přičíst 10 znamená jen posunout se o desítku výš, takže přičti snadné číslo a oprav to o jednu.

5. Dvojnásobek plus jedna (Doubles Plus One)

Sousední čísla? Zdvojnásob to menší a přičti 1.

Příklad: 7 + 8 = 15

1. Zdvojnásob menší číslo. 7 × 2 = 14
2. Přičti ještě jednu. 14 + 1 = 15

Proč to funguje: dvě sousední čísla jsou dvojnásobek plus jedna. Dvojnásobky děti obvykle znají nazpaměť, takže z 7 + 8 se stane něco, co už umí, plus jedna.

➖ Odčítání

6. Odčítání přičítáním (Add Up to Subtract)

Počítej od menšího čísla nahoru k většímu, jako prodavač, když vrací drobné.

Příklad: 100 − 84 = 16

1. Z 84 skoč na nejbližší desítku, 90. Jak daleko? 90 − 84 = 6
2. Z 90 nahoru na 100. 100 − 90 = 10
3. Sečti oba skoky. 6 + 10 = 16

Proč to funguje: vzdálenost mezi dvěma čísly je stejná, ať ji jdeš kterýmkoli směrem. Když počítáš nahoru po pěkných skocích, úplně se vyhneš přechodu přes desítku, a přesně tak počítá prodavač drobné.

7. Posuň obě čísla (Shift Both Numbers)

Posuň obě čísla o stejný kousek, aby nebyl potřeba přechod přes desítku.

Příklad: 72 − 39 = 33

1. K oběma přičti 1. Ze 72 je… 72 + 1 = 73
2. …a z 39 kulatá desítka. 39 + 1 = 40
3. Stejný rozdíl, snazší čísla. 73 − 40 = 33

Proč to funguje: když k oběma číslům přičteš stejné množství, rozdíl se nezmění (73 a 40 jsou od sebe stejně daleko jako 72 a 39). Vybrali jsme posun, díky kterému je z menšitele kulatá desítka.

8. Všechny od 9, poslední od 10 (All from 9, Last from 10)

Odčítáš od 1 000? Každou číslici odečti od 9, poslední od 10.

Příklad: 1000 − 436 = 564

1. Číslici stovek od 9. 9 − 4 = 5
2. Číslici desítek od 9. 9 − 3 = 6
3. Poslední číslici od 10. 10 − 6 = 4
4. Přečti tři výsledky jako jedno číslo. 5 6 4 = 564

Proč to funguje: 1000 = 999 + 1. Odčítání od 999 nikdy nepotřebuje přechod přes desítku (každá číslice je 9) a ta jednička navíc se vyřeší tím, že poslední číslici odečteš od 10 místo od 9. Když číslo končí nulou, odečti od 10 poslední nenulovou číslici a nulu nech (1000 − 430: 5, 7, pak 0, tedy 570). Math Ninja dává jen čísla, která nulou nekončí.

9. Smyčka minus 9 (The Minus 9 Loop)

Odčítáš 9? Odečti 10 a jednu vrať.

Příklad: 54 − 9 = 45

1. Odečti místo toho 10. 54 − 10 = 44
2. To bylo o jednu víc. Vrať ji. 44 + 1 = 45

Proč to funguje: 9 je o jednu méně než 10. Odečíst 10 je snadné, jenže tím ubereš o jednu víc, takže jednu vrať.

10. Dolů na desítku (Drop to a Ten)

Odečítej ve dvou snadných kouscích: nejdřív dolů na desítku, pak zbytek.

Příklad: 83 − 15 = 68

1. Nejdřív odečti 3, ať přistaneš na desítce. 83 − 3 = 80
2. Kolik ještě zbývá odečíst? 15 − 3 = 12
3. Teď odečti zbytek. 80 − 12 = 68

Proč to funguje: odčítat ve dvou krocích je totéž jako odečíst všechno najednou. První krok přistane na kulaté desítce a odčítat od kulaté desítky je snadné.

✖️ Násobení

11. Zdvojnásob a vyděl dvěma (Double and Halve)

Jedno číslo vyděl dvěma, druhé zdvojnásob. Stejný výsledek, snazší příklad.

Příklad: 14 × 15 = 210

1. Vyděl 14 dvěma. 14 ÷ 2 = 7
2. Zdvojnásob 15. 15 × 2 = 30
3. Vynásob snadnou dvojici. 7 × 30 = 210

Proč to funguje: když jeden činitel vydělíš dvěma a druhý zdvojnásobíš, součin se nezmění (14 × 15 i 7 × 30 je 210). Z nešikovné dvojice se stane dvojice s kulatým číslem.

12. Pravidlo jedenáctky (The 11 Rule)

Dvojciferné číslo krát 11: doprostřed dej součet jeho číslic.

Příklad: 35 × 11 = 385

1. Sečti obě číslice, 3 a 5. 3 + 5 = 8
2. Dej výsledek doprostřed: 3 _ 5. 3 8 5 = 385

Proč to funguje: 35 × 11 = 35 × 10 + 35 = 350 + 35. Když tohle sčítání zapíšeš číslici po číslici, na místě stovek je 3, na místě desítek 3 + 5 a na místě jednotek 5. Když dají obě číslice dohromady víc než 9, přičti jedničku k první číslici.

13. Krát 5 (Times 5)

Vyděl číslo dvěma a pak vynásob deseti.

Příklad: 24 × 5 = 120

1. Vyděl dvěma. 24 ÷ 2 = 12
2. Krát 10, stačí připsat nulu. 12 × 10 = 120

Proč to funguje: 5 je polovina z 10. Když nejdřív vydělíš dvěma a pak připíšeš nulu, uděláš totéž jako násobení pěti v jednom kroku, a to bez malé násobilky.

14. Krát 9 (Times 9)

Krát 10 a pak uber jednu skupinu.

Příklad: 7 × 9 = 63

1. Nejdřív krát 10. 7 × 10 = 70
2. Uber jednu sedmičku. 70 − 7 = 63

Proč to funguje: 9 skupin je 10 skupin bez jedné. Krát deset je nula na konci a pak už jen ubereš číslo jednou.

15. Dvakrát dvojnásobek, ×4 (Double-Double)

Krát 4 je prostě dvakrát zdvojnásobit.

Příklad: 18 × 4 = 72

1. Zdvojnásob. 18 × 2 = 36
2. Zdvojnásob ještě jednou. 36 × 2 = 72

Proč to funguje: 4 = 2 × 2. Dvojí zdvojnásobení násobí čtyřmi a zdvojnásobovat děti umí bez přemýšlení.

16. Krát 15 (Times 15)

Krát 10 a přičti polovinu výsledku.

Příklad: 22 × 15 = 330

1. Krát 10. 22 × 10 = 220
2. Polovina z toho. 220 ÷ 2 = 110
3. Sečti to. 220 + 110 = 330

Proč to funguje: 15 = 10 + 5 a 5 je polovina z 10. Takže krát 15 je krát 10 plus polovina z toho.

17. Druhé mocniny čísel končících pětkou (Squares ending in 5)

První číslici vynásob číslem o jedna větším a na konec připiš 25.

Příklad: 35 × 35 = 1225

1. Vynásob 3 číslem o jedna větším, tedy 4. 3 × 4 = 12
2. Připiš na konec 25. 12 25 = 1225

Proč to funguje: (10n + 5)² = 100·n·(n+1) + 25. Algebra je pro dospělé; dítěti stačí vzorec a ten funguje pro každé číslo, které končí pětkou.

➗ Dělení

18. Děleno 5 (Divide by 5)

Zdvojnásob číslo a pak vyděl deseti.

Příklad: 145 ÷ 5 = 29

1. Zdvojnásob. 145 × 2 = 290
2. Vyděl deseti, stačí škrtnout nulu. 290 ÷ 10 = 29

Proč to funguje: dělit pěti je totéž jako dělit deseti a zdvojnásobit, protože 5 = 10 ÷ 2. Když nejdřív zdvojnásobíš, zůstane všechno v celých číslech.

19. Půlka z půlky, ÷4 (Half-Half)

Děl čtyřmi tak, že dvakrát vydělíš dvěma.

Příklad: 112 ÷ 4 = 28

1. Vyděl dvěma. 112 ÷ 2 = 56
2. A ještě jednou. 56 ÷ 2 = 28

Proč to funguje: 4 = 2 × 2, takže dělit čtyřmi znamená dvakrát půlit. Půlení je snazší než dělení, i u velkých čísel.

20. Dělení po kouscích (Chunking)

Rozděl velké číslo na dva pěkné kousky a vyděl každý zvlášť.

Příklad: 132 ÷ 6 = 22

1. Rozděl 132 na 120 a 12. Vyděl velký kousek. 120 ÷ 6 = 20
2. Teď malý kousek. 12 ÷ 6 = 2
3. Sečti oba výsledky. 20 + 2 = 22

Proč to funguje: dělení rozděluje celek a ten se dá předem rozdělit na jakékoli šikovné kousky. Vyber velký kousek, který je snadným násobkem dělitele, a pak se postarej o malý zbytek.

Které triky učit nejdřív

Začni těmi, které stojí na desítkách: doplnění do desítky, plus 9, minus 9 a pěkná čísla. Budují tu nejužitečnější myšlenku počítání zpaměti: že desítka je místo, kde se dá pevně stát. Pak přijdou dvojnásobky, krát 4 a krát 5, protože zdvojnásobování a půlení působí jako hra. Pravidlo jedenáctky a druhé mocniny čísel končících pětkou si nech nakonec; jsou to triky na předvádění a fungují líp, až dítě věří těm ostatním.

Math Ninja učí každý trik třemi způsoby: podívat se na vyřešený příklad, spočítat jeden spolu s vyplněným každým krokem a pak pět samostatně. Hvězdy se ukládají pro každý trik zvlášť, takže dítě během pár týdnů vidí, jak se všech dvacet rozsvěcuje.