20 κόλπα νοερών υπολογισμών για παιδιά, εξηγημένα βήμα βήμα

Οι περισσότεροι μεγάλοι κάνουν πράξεις με το μυαλό χρησιμοποιώντας λίγα «κόλπα» που έμαθαν χωρίς να το καταλάβουν: στρογγυλεύουν σε έναν βολικό αριθμό, προσθέτουν δέκα και αφαιρούν ένα, διπλασιάζουν και υποδιπλασιάζουν. Πολλά σχολικά προγράμματα διδάσκουν κάποια από αυτά, όπως τον σχηματισμό της δεκάδας, αλλά συχνά τα παιδιά τα συναντούν για λίγο πριν τα παραμερίσει η κάθετη πράξη στο τετράδιο. Όταν τα εξασκούν σκόπιμα, τους μένουν.

Αυτός ο οδηγός παρουσιάζει τα είκοσι κόλπα που διδάσκει το Math Ninja, ένα δωρεάν παιχνίδι αυτής της σελίδας, με τη σειρά που τα διδάσκει το παιχνίδι. Το καθένα έχει ένα λυμένο παράδειγμα και, το πιο σημαντικό, την εξήγηση του γιατί δουλεύει. Ένα κόλπο που το παιδί μπορεί να εξηγήσει είναι κόλπο που θα το κρατήσει πολύ πιο εύκολα, και θα το χρησιμοποιεί σωστά. Κάθε παράδειγμα παρακάτω είναι αυτό που χρησιμοποιεί το παιχνίδι στη φάση Watch (παρακολούθηση), ώστε ο γονιός που διαβάζει και το παιδί που παίζει να βλέπουν τους ίδιους αριθμούς. Τα ονόματα των κόλπων είναι αυτά του παιχνιδιού, στα αγγλικά, με την απόδοσή τους δίπλα.

Πώς να το δουλέψεις με ένα παιδί. Διάλεξε ένα κόλπο. Πείτε τα βήματα φωναχτά μαζί τρεις-τέσσερις φορές με διαφορετικούς αριθμούς. Μετά ζήτα του να σου το εξηγήσει εκείνο. Αν μπορεί να πει γιατί δουλεύει, προχωρήστε. Αν μπορεί να πει μόνο τι κάνει, μείνετε σε αυτό μία μέρα ακόμα.

➕ Πρόσθεση

1. Friendly Numbers (φιλικοί αριθμοί)

Στρογγύλεψε έναν δύσκολο αριθμό στη δεκάδα, κάνε την πρόσθεση και μετά δώσε πίσω ό,τι πρόσθεσες.

Παράδειγμα: 48 + 35 = 83

1. Το 48 είναι πολύ κοντά στο 50. Στρογγύλεψέ το προς τα πάνω κατά 2. 48 + 2 = 50
2. Τώρα η πρόσθεση είναι εύκολη. 50 + 35 = 85
3. Δανειστήκαμε 2 για να στρογγυλέψουμε. Τα δίνουμε πίσω. 85 − 2 = 83

Γιατί δουλεύει: όταν προσθέτεις 2 στον έναν αριθμό και αφαιρείς 2 από το αποτέλεσμα, το ένα ακυρώνει το άλλο. Απλώς μεταφέραμε το «άβολο» κομμάτι στο τέλος, όπου είναι ένα μόνο εύκολο βήμα.

2. Left to Right (από αριστερά προς τα δεξιά)

Πρόσθεσε πρώτα τις δεκάδες, μετά τις μονάδες, και ένωσέ τα.

Παράδειγμα: 53 + 36 = 89

1. Πρώτα οι δεκάδες: 50 και 30. 50 + 30 = 80
2. Τώρα οι μονάδες: 3 και 6. 3 + 6 = 9
3. Ένωσέ τα. 80 + 9 = 89

Γιατί δουλεύει: η πρόσθεση μπορεί να γίνει με οποιαδήποτε σειρά. Δεκάδες με δεκάδες και μετά μονάδες με μονάδες είναι η κάθετη πράξη γυρισμένη στο πλάι, και κρατάει τους μεγάλους αριθμούς μπροστά σου, ώστε το αποτέλεσμα να είναι περίπου σωστό από το πρώτο βήμα.

3. Making Tens (φτιάχνω δεκάδα)

Δανείσου από τον έναν αριθμό ακριβώς όσο χρειάζεται ο άλλος για να γίνει δέκα.

Παράδειγμα: 8 + 7 = 15

1. Στο 8 λείπει λίγο για να γίνει 10. Πόσο; 10 − 8 = 2
2. Πάρε 2 από το 7. 7 − 2 = 5
3. Δέκα και 5. 10 + 5 = 15

Γιατί δουλεύει: το 8 + 7 και το 10 + 5 κάνουν το ίδιο σύνολο· απλώς μεταφέραμε 2 από τη μία στοίβα στην άλλη. Το δέκα προστίθεται εύκολα σε οτιδήποτε, οπότε όλη η δουλειά γίνεται να βρεις πόσο λείπει σε έναν αριθμό για να φτάσει το δέκα.

4. The Plus 9 Slide (η τσουλήθρα του συν 9)

Προσθέτεις 9; Πρόσθεσε 10 και γύρνα ένα πίσω.

Παράδειγμα: 67 + 9 = 76

1. Πρόσθεσε 10, που είναι εύκολο. 67 + 10 = 77
2. Γύρνα ένα πίσω. 77 − 1 = 76

Γιατί δουλεύει: το 9 είναι ένα λιγότερο από το 10. Όταν προσθέτεις 10, απλώς ανεβαίνεις μία δεκάδα, οπότε πρόσθεσε τον εύκολο αριθμό και διόρθωσε κατά ένα.

5. Doubles Plus One (το διπλό συν ένα)

Γειτονικοί αριθμοί; Διπλασίασε τον μικρότερο και πρόσθεσε 1.

Παράδειγμα: 7 + 8 = 15

1. Διπλασίασε τον μικρότερο αριθμό. 7 × 2 = 14
2. Πρόσθεσε ένα ακόμα. 14 + 1 = 15

Γιατί δουλεύει: δύο γειτονικοί αριθμοί είναι ένα διπλό συν ένα. Τα παιδιά συνήθως ξέρουν τα διπλά απ’ έξω, οπότε το 7 + 8 γίνεται κάτι που ήδη ξέρουν, συν ένα.

➖ Αφαίρεση

6. Add Up to Subtract (προσθέτω για να αφαιρέσω)

Μέτρα από τον μικρό αριθμό μέχρι τον μεγάλο, όπως ο μανάβης όταν σου δίνει τα ρέστα.

Παράδειγμα: 100 − 84 = 16

1. Από το 84, πήδα στην επόμενη δεκάδα, το 90. Πόσο απέχει; 90 − 84 = 6
2. Από το 90 μέχρι το 100. 100 − 90 = 10
3. Πρόσθεσε τα δύο πηδήματα. 6 + 10 = 16

Γιατί δουλεύει: η απόσταση ανάμεσα σε δύο αριθμούς είναι ίδια, από όποια μεριά κι αν την περπατήσεις. Αν μετράς προς τα πάνω με βολικά πηδήματα, αποφεύγεις εντελώς το «δανείζομαι», και έτσι ακριβώς μετράει τα ρέστα ο μανάβης.

7. Shift Both Numbers (μετακινώ και τους δύο αριθμούς)

Μετακίνησε και τους δύο αριθμούς κατά το ίδιο ποσό, ώστε να μη χρειάζεται δανεισμός.

Παράδειγμα: 72 − 39 = 33

1. Πρόσθεσε 1 και στους δύο. Το 72 γίνεται… 72 + 1 = 73
2. …και το 39 γίνεται στρογγυλή δεκάδα. 39 + 1 = 40
3. Ίδια απόσταση, ευκολότεροι αριθμοί. 73 − 40 = 33

Γιατί δουλεύει: αν προσθέσεις το ίδιο ποσό και στους δύο αριθμούς, η διαφορά δεν αλλάζει (το 73 και το 40 απέχουν όσο το 72 και το 39). Διαλέξαμε τη μετακίνηση που κάνει τον αριθμό που αφαιρούμε στρογγυλή δεκάδα.

8. All from 9, Last from 10 (όλα από το 9, το τελευταίο από το 10)

Αφαιρείς από το 1.000; Κάθε ψηφίο από το 9, το τελευταίο από το 10.

Παράδειγμα: 1000 − 436 = 564

1. Το ψηφίο των εκατοντάδων από το 9. 9 − 4 = 5
2. Το ψηφίο των δεκάδων από το 9. 9 − 3 = 6
3. Το τελευταίο ψηφίο από το 10. 10 − 6 = 4
4. Διάβασε τις τρεις απαντήσεις σαν έναν αριθμό. 5 6 4 = 564

Γιατί δουλεύει: 1000 = 999 + 1. Η αφαίρεση από το 999 δεν χρειάζεται ποτέ δανεισμό (κάθε ψηφίο είναι 9), και για το επιπλέον 1 φροντίζουμε αφαιρώντας το τελευταίο ψηφίο από το 10 αντί για το 9. Αν ο αριθμός τελειώνει σε 0, αφαίρεσε από το 10 το τελευταίο ψηφίο που δεν είναι μηδέν και κράτα το μηδέν (1000 − 430: 5, 7 και μετά 0, άρα 570). Το Math Ninja δίνει μόνο αριθμούς που δεν τελειώνουν σε 0.

9. The Minus 9 Loop (ο κύκλος του μείον 9)

Αφαιρείς 9; Αφαίρεσε 10 και δώσε ένα πίσω.

Παράδειγμα: 54 − 9 = 45

1. Αφαίρεσε 10. 54 − 10 = 44
2. Αφαιρέσαμε ένα παραπάνω. Το δίνουμε πίσω. 44 + 1 = 45

Γιατί δουλεύει: το 9 είναι ένα λιγότερο από το 10. Το να αφαιρέσεις 10 είναι εύκολο, αλλά έτσι βγάζεις ένα παραπάνω, οπότε ξαναβάζεις ένα.

10. Drop to a Ten (κατεβαίνω στη δεκάδα)

Αφαίρεσε σε δύο εύκολα κομμάτια: πρώτα μέχρι μια δεκάδα, μετά τα υπόλοιπα.

Παράδειγμα: 83 − 15 = 68

1. Πρώτα βγάλε 3 για να πέσεις σε δεκάδα. 83 − 3 = 80
2. Πόσα μένουν ακόμα να βγάλεις; 15 − 3 = 12
3. Τώρα βγάλε τα υπόλοιπα. 80 − 12 = 68

Γιατί δουλεύει: η αφαίρεση σε δύο βήματα είναι το ίδιο με την αφαίρεση μονομιάς. Το πρώτο βήμα σε φέρνει σε στρογγυλή δεκάδα, και η αφαίρεση από μια στρογγυλή δεκάδα είναι εύκολη.

✖️ Πολλαπλασιασμός

11. Double and Halve (διπλασιάζω και υποδιπλασιάζω)

Κάνε τον έναν αριθμό μισό και τον άλλον διπλό. Ίδιο αποτέλεσμα, πιο εύκολη πράξη.

Παράδειγμα: 14 × 15 = 210

1. Το μισό του 14. 14 ÷ 2 = 7
2. Το διπλό του 15. 15 × 2 = 30
3. Πολλαπλασίασε το εύκολο ζευγάρι. 7 × 30 = 210

Γιατί δουλεύει: αν κάνεις τον έναν παράγοντα μισό και τον άλλον διπλό, το γινόμενο δεν αλλάζει (το 14 × 15 και το 7 × 30 κάνουν και τα δύο 210). Έτσι ένα άβολο ζευγάρι γίνεται ζευγάρι με έναν στρογγυλό αριθμό μέσα.

12. The 11 Rule (ο κανόνας του 11)

Διψήφιος επί 11: βάλε το άθροισμα των ψηφίων του στη μέση.

Παράδειγμα: 35 × 11 = 385

1. Πρόσθεσε τα δύο ψηφία, 3 και 5. 3 + 5 = 8
2. Βάλ’ το στη μέση: 3 _ 5. 3 8 5 = 385

Γιατί δουλεύει: 35 × 11 = 35 × 10 + 35 = 350 + 35. Αν κάνεις αυτή την πρόσθεση ψηφίο ψηφίο, το 3 πάει στις εκατοντάδες, το 3 + 5 στις δεκάδες και το 5 στις μονάδες. Όταν τα δύο ψηφία κάνουν πάνω από 9, το κρατούμενο 1 πάει στο πρώτο ψηφίο.

13. Times 5 (επί 5)

Πάρε το μισό του αριθμού και μετά επί 10.

Παράδειγμα: 24 × 5 = 120

1. Το μισό. 24 ÷ 2 = 12
2. Επί 10, απλώς βάζεις ένα μηδενικό. 12 × 10 = 120

Γιατί δουλεύει: το 5 είναι το μισό του 10. Αν πάρεις πρώτα το μισό και μετά βάλεις ένα μηδενικό, κάνεις την ίδια δουλειά με τον πολλαπλασιασμό επί 5, χωρίς καμία προπαίδεια.

14. Times 9 (επί 9)

Επί 10, και μετά βγάλε μία ομάδα.

Παράδειγμα: 7 × 9 = 63

1. Πρώτα επί 10. 7 × 10 = 70
2. Βγάλε ένα 7. 70 − 7 = 63

Γιατί δουλεύει: 9 ομάδες είναι 10 ομάδες μείον μία ομάδα. Το επί δέκα είναι ένα μηδενικό στο τέλος, και μετά βγάζεις τον αριθμό μία φορά.

15. Double-Double (το διπλό του διπλού, ×4)

Το επί 4 είναι απλώς δύο φορές διπλασιασμός.

Παράδειγμα: 18 × 4 = 72

1. Διπλασίασέ το. 18 × 2 = 36
2. Διπλασίασέ το ξανά. 36 × 2 = 72

Γιατί δουλεύει: 4 = 2 × 2. Αν διπλασιάσεις δύο φορές, πολλαπλασιάζεις επί τέσσερα, και ο διπλασιασμός είναι κάτι που τα παιδιά κάνουν χωρίς να το σκεφτούν.

16. Times 15 (επί 15)

Επί 10, και πρόσθεσε το μισό του.

Παράδειγμα: 22 × 15 = 330

1. Επί 10. 22 × 10 = 220
2. Το μισό του. 220 ÷ 2 = 110
3. Πρόσθεσέ τα. 220 + 110 = 330

Γιατί δουλεύει: 15 = 10 + 5, και το 5 είναι το μισό του 10. Άρα το επί 15 είναι το επί 10 συν το μισό του.

17. Squares ending in 5 (τετράγωνα αριθμών που λήγουν σε 5)

Το πρώτο ψηφίο επί τον επόμενο αριθμό, και μετά κόλλα το 25 στο τέλος.

Παράδειγμα: 35 × 35 = 1225

1. Πολλαπλασίασε το 3 με τον επόμενο αριθμό, το 4. 3 × 4 = 12
2. Κόλλα το 25 στο τέλος. 12 25 = 1225

Γιατί δουλεύει: (10n + 5)² = 100·n·(n+1) + 25. Η άλγεβρα είναι για τους μεγάλους· το παιδί χρειάζεται μόνο το μοτίβο, και δουλεύει για κάθε αριθμό που λήγει σε 5.

➗ Διαίρεση

18. Divide by 5 (διαίρεση με το 5)

Διπλασίασε τον αριθμό και μετά διαίρεσε με το 10.

Παράδειγμα: 145 ÷ 5 = 29

1. Διπλασίασέ το. 145 × 2 = 290
2. Διαίρεσε με το 10, απλώς βγάζεις το μηδενικό. 290 ÷ 10 = 29

Γιατί δουλεύει: η διαίρεση με το 5 είναι το ίδιο με τη διαίρεση με το 10 και τον διπλασιασμό, γιατί 5 = 10 ÷ 2. Αν διπλασιάσεις πρώτα, όλα μένουν ακέραιοι αριθμοί.

19. Half-Half (μισό του μισού, ÷4)

Διαίρεσε με το 4 παίρνοντας δύο φορές το μισό.

Παράδειγμα: 112 ÷ 4 = 28

1. Το μισό. 112 ÷ 2 = 56
2. Ξανά το μισό. 56 ÷ 2 = 28

Γιατί δουλεύει: 4 = 2 × 2, οπότε η διαίρεση με το 4 είναι δύο φορές το μισό. Το να βρεις το μισό είναι πιο εύκολο από τη διαίρεση, ακόμα και με μεγάλους αριθμούς.

20. Chunking (διαίρεση σε κομμάτια)

Σπάσε έναν μεγάλο αριθμό σε δύο βολικά κομμάτια και διαίρεσε το καθένα.

Παράδειγμα: 132 ÷ 6 = 22

1. Σπάσε το 132 σε 120 και 12. Διαίρεσε το μεγάλο κομμάτι. 120 ÷ 6 = 20
2. Τώρα το μικρό κομμάτι. 12 ÷ 6 = 2
3. Πρόσθεσε τις δύο απαντήσεις. 20 + 2 = 22

Γιατί δουλεύει: η διαίρεση μοιράζει ένα σύνολο, και το σύνολο μπορεί πρώτα να σπάσει σε όποια κομμάτια σε βολεύουν. Διάλεξε ένα μεγάλο κομμάτι που να είναι εύκολο πολλαπλάσιο του διαιρέτη και μετά λύσε το μικρό κομμάτι που περισσεύει.

Ποια κόλπα να διδάξεις πρώτα

Ξεκίνα με εκείνα που στηρίζονται στις δεκάδες: φτιάχνω δεκάδα, συν 9, μείον 9 και φιλικοί αριθμοί. Χτίζουν τη μία πιο χρήσιμη ιδέα των νοερών υπολογισμών: ότι το δέκα είναι το σημείο όπου πατάς. Μετά έρχονται τα διπλά, το επί 4 και το επί 5, γιατί ο διπλασιασμός και ο υποδιπλασιασμός μοιάζουν με παιχνίδι. Άφησε για το τέλος τον κανόνα του 11 και τα τετράγωνα των αριθμών που λήγουν σε 5· αυτά είναι τα «μαγικά κόλπα» για εντυπωσιασμό, και πιάνουν καλύτερα όταν το παιδί έχει εμπιστοσύνη στα υπόλοιπα.

Το Math Ninja διδάσκει κάθε κόλπο με τρεις τρόπους: παρακολουθείς ένα λυμένο παράδειγμα, κάνεις ένα μαζί με κάθε βήμα συμπληρωμένο, και μετά πέντε μόνος σου. Τα αστέρια αποθηκεύονται για κάθε κόλπο, ώστε το παιδί να βλέπει τα είκοσι να φωτίζονται ένα ένα μέσα σε λίγες εβδομάδες.